Prostředí:

Autobusové linky

Žák se seznamuje prostřednictvím hry a činností s grafy.

Autobusové linky

Obec představuje uzel grafu a cesta mezi obcemi je hrana grafu. V úlohách se objeví i kombinatorické situace nebo úlohy směřující k dělitelnosti (nejmenší společný násobek čísel,…).

1. ročník

Úloha 1:

Úloha zavádí prostředí Autobusové linky. Objevují se v ní dva důležité termíny pro toto prostředí – okružní a kyvadlová linka. Je důležité s žáky tyto pojmy diskutovat, pojmenovat příklady z běžného života (jak fungují kyvadlové hodiny, jízda MHD,…). Navíc, pojem okružní cesta se již vyskytl v prostředí Dětský park.

Několik úvodních úloh je vhodné dramatizovat. Pět žáků např. dostane cedulky s písmeny A, B, C, D a E a náhodně je rozmístí do schématu z obrázku, které učitel připraví například pomocí CDéček
navázaných na šňůru. Třída pak umístění jednotlivých obcí koriguje podle daných podmínek, například obec E leží mezi obcemi B a C, obec B sousedí se třemi dalšími obcemi A, E a D, obec A sousedí jenom s obcí B.

Žáci pravděpodobně budou umístění obcí zkoušet. Každá sofistikovanější myšlenka zasluhuje pozornost žáků. Např. se může objevit tato: „Okruh je v obrázku jediný. Ten ze čtyř obcí. Proto pravá obec musí být A. Pak je již vše jasné.“


Úloha 2:

Pokud žáci obce náhodně umísťují, mohou mít s vyřešením úlohy potíže. Učitel může dát radu otázkou: „Kolik je v okružní lince obcí? Kde může být?“ Tím žáci zjistí, že obě krajní levé obce jsou E a B.


Úloha 3:

V úloze se objevuje nová myšlenka. Protože je jedna obec (E) zadána, určení obce F je jednoznačné (z pozice v kyvadlové lince).


Úloha 4:

Symetrické struktury často přinášejí více řešení. Necháme na žácích a na jejich diskuzi, zda symetrická řešení považují za stejná nebo ne. Důležité je si své závěry umět zdůvodnit.


Úloha 5:


Zobrazit řešení

Úloha 1:


Úloha 2:


Úloha 3:


Úloha 4:

Celkem jsou čtyři řešení, dvě s D zcela vpravo, dvě (symetrická) s D zcela vlevo.


Úloha 5:


3. ročník

Úloha 6:

V úloze se vyskytují dvě kyvadlové linky. To činí úlohu obtížnější oproti úlohám předcházejícím. Zkoušení možností by mohlo být časově velice náročné. To může motivovat žáky k hledání lepší strategie. Tou může být evidence jednotlivých obcí podle toho, kolik sousedních obcí mají. Z obou linek vyplývá, že obec D i obec B mají „tři sousedy (D: B, E, G – B: D, F, C).“ V grafu úlohy jsou právě dva takové body, ze kterých vycházejí tři úsečky (cesty). Tím je jasné, kde leží body B a D, zbytek již není obtížný. Pokud žáci myšlenku neobjeví, učitel jim může pomoci radou, např: „Z kolika obcemi přímo sousedí obec B, z kolika C,…?“


Úloha 7:

Opět žákům pomohou strategie z předchozích úloh: kolik cest vychází z konkrétní obce, určení okružní cesty a počtu obcí v ní.

Zobrazit řešení

Úloha 6:

(z několika možností vyhovuje jediná):


Úloha 7:

4. ročník

Úloha 8:


Přicházejí úlohy s časovými údaji. Žáci v nich pracují s číslem coby veličinou, poznávají zákonitosti mezi čísly grafu a v budoucnu např. se objeví i úlohy, které připraví téma společný a nejmenší společný násobek čísel.

Zobrazit řešení

Úloha 8:

a) Žáci zjišťují, že tři cesty obou linek jsou stejné. Aby délka trvání obou byla stejná, musí se shodovat i čtvrtá. To znamená, že AB je 8 min. stejně jako BE.

b) V úloze b) žáci využívají již známých zjištění. Ví, že projetí okružní linky trvá 22 minut, dvakrát tedy 44 min. Projetí kyvadlové linky lze zapsat jako ? + 6 + 3 + 5 + 5 + 3 + 6 + ?. Znovu vyjde, že AB je 8 min. Žáci mohou použít i stejnou myšlenku jako v úloze a). Obě linky mají stejné cesty, liší se pouze v BE a AB zde ve dvou výskytech.

c) Trojnásobné projetí okružní linky trvá 66 minut. Projetí kyvadlové linky z A do E tam a zpět trvá 2? + 28. Pokud ji projedeme dvakrát, je to 4? + 56. Tím se mohou žáci dostat i k rovnici: 4? + 56 = 66. Z toho vyplývá, že cesta AB trvá 2,5 minuty.