Prostředí:

Barevné trojice

V tomto prostředí žáci prohlubují své základní aritmetické znalosti, kombinatorické myšlení a řešitelské strategie.

Barevné trojice

Úkolem je rozdělit všechna barevná čísla v zadání do trojic se stejným součtem. Pokud rozdělíme jen některá čísla a zbytek rozdělit nepůjde, úloha se nám nepodařilo vyřešit. Některé úlohy mají více řešení. To znamená, že všechna čísla jdou rozdělit do trojic s daným součtem více různými způsoby. Součet čísel v trojicích můžeme ze zadání znát, ale také nemusíme. Pokud ho neznáme, zjistíme ho tak, že sečteme všechna čísel a tento součet vydělíme počtem trojic, do kterých čísla budeme dělit. Tuto myšlenku žáci při řešení úloh ve třídě společně objeví.Úlohy jsou vhodné pro manipulativní řešení (vystřižená čísla na barevných papírech) i skupinovou práci. Důležitým zjištěním, které žáci odhalí, je řešitelská strategie začnu od nejmenšího/největšího čísla. Když začnu s největším číslem, hledám k němu do trojice jiná dvě malá čísla. Pokud žáci tuto strategii odhalí, stává se pro ně úloha explicitní (neřeším ji metodou pokusů, ale vím, jaký postup mě dovede ke správnému výsledku). Prostředí se v učebnicích objevuje jen v 1. a 2. třídě. Využití však najde i na druhém stupni nebo středních školách. Učitel si může vymyslet úlohy vlastní v jiném číselném oboru, než jsou přirozená čísla. Žáci mohou do trojic podle barev a stejného součtu dělit záporná čísla, racionální čísla (zlomky i desetinná čísla), mocniny, odmocniny nebo logaritmy.

Mateřská škola

Žáci mají za úkol rozdělit se do trojic tak, aby v každé trojici byla jiná barva trička.

1. ročník, zavedení prostředí

Učitel si připraví papírky s barevnými trojicemi. Od každé ze tří barev je stejný počet papírků. Pokud počet žáků není dělitelný třemi, učitel přidá jeden nebo dva papírky s nulou a čtvrtou odlišnou barvou. Všechny trojice čísel musí mít stejný součet. Každý žák dostane barevný papírek s číslem. Úkolem žáků je rozdělit se do trojic (případně jedna nebo dvě čtveřice) tak, aby v každé skupině byla jedna barva zastoupená pouze jednou a aby součet všech čísel ve skupině odpovídal zadání. Úlohu je možné zařadit na úvodní rozdělení pro skupinovou práci ve trojicích. Úloha může pro některé žáky obtížná ze sociálního hlediska (chci být se svým kamarádem, i když spolu trojici podle zadání vytvořit nemůžeme).

1. ročník

Úloha 1: 


Jedna z účinných řešitelských strategií, kterou žáci při řešení ve třídě objeví, je začít s největším nebo nejmenším číslem. V této úloze je největší číslo žlutá 5. K ní hledám dvě čísla taková, aby součet všech tří čísel byl 6. Z modrých a červených čísel je patrné, že takové řešení je jen jedno – žlutá 5, modrá 1 a červená 0. Dalším největším číslem je modrá 4. Ze zbylých čísel k ní můžu přidat jen žlutou 1 a červenou 1, aby součet všech tří čísel byl 6.
Nakonec zbývají dvě červené trojky. Ke každé musíme přičíst žluté a modré číslo. Přitom víme, že součet žlutého a modrého čísla musí být dohromady 3, jinak by součet všech tří čísel nebyl 6. K jedné z červených trojek proto přičteme modrou trojku a žlutou nulu, k druhé modrou jedničku a žlutou dvojku. Žáci se takto učí svá řešení systematizovat, což jim v budoucnu další práci výrazně urychlí.

Zobrazit řešení

Úloha 1:

(1, 5, 0), (3, 0, 3), (4, 1, 1), (1, 2, 3).

2. ročník

Úloha 2:

(úloha má dvě různá řešení, to znamená že všechna čísla
jdou rozdělit do trojic se součtem 12 dvěma různými způsoby):


Úloha 3:


Žáci pravděpodobně budou úlohu řešit již známými strategiemi – zkoušením, nebo strategií největšího (nejmenšího) čísla. Je možné, že se objeví i sofistikovanější strategie, ačkoliv neočekáváme, že u žáků druhého ročníku. Strategie je založena na sčítání sudých a lichých čísel. V modré skupině jsou pouze lichá čísla. Pokud vyberu ze žluté skupiny lichou jedničku, z modré skupiny přidáme nějaké liché číslo, pak je jasné, že musíme z červené skupiny vybrat číslo sudé (aby součet tří čísel byl sudý). Proto jedna skupina bude 9, 1, 2. V každé z dalších skupin pak budou dvě lichá a jedno sudé číslo. Např. k červené 9 najdeme rychle jediné řešení 1m a 2ž.

Podobné myšlenky lze připravit ve vyšších ročnících otázkami typu: „Když sečteme dvě (tři) lichá čísla, jaký bude výsledek?“ „Když sečteme dvě (tři) sudá čísla, jaký bude výsledek?“ Poté se k úlohám můžeme vrátit, zda žáci strategii objeví. Další takovou úlohou může být: Spoj tři čísla a vytvoř 14 (modrá čísla: 1, 3, 5, 9; žlutá čísla: 2, 4, 8, 9; červená čísla: 1, 2, 3, 9).

Zobrazit řešení

Úloha 2:

Dva výsledky: první (2m, 3ž, 7č), (5m, 4ž, 3č), (1m, 5ž, 6č), (6m, 4ž, 2č), druhé (2m, 4ž, 6č), (5m, 5ž, 2č), (1m, 4ž, 7č), (6m, 3ž, 3č).


Úloha 3:

9m, 1ž, 2č - 9m, 1m, 2ž, 9č - 3m, 8ž, 1č - 5m, 4ž, 3č.

Ve vyšších ročnících lze vyzývat žáky k nalezení všech možností, nebo měnit obor použitých čísel.

4. - 5. ročník

Úloha 4:


Zobrazit řešení

Úloha 4:

první (7m, -7ž, 0č), (-4m, -5ž, 9č), (-1m, 3ž, -2č), (-2m, 1ž, 1č),

druhé (7m, -5ž, -2č), (-4m, 3ž, 1č), (-1m, 1ž, 0č), (-2m, -7ž, 9č)

6. - 7. ročník

Úloha 5:


Zobrazit řešení

Úloha 5:

první (0,3m, 0,7ž, 1č), (1m, 6ž, -5č), (5,8m, 0,5ž, -4,3č), (6,3m, -4,8ž, 0,5č),
druhé (0,3m, 6ž, -4,3č), (1m, 0,5ž, 0,5č), (5,8m, -4,8ž, 1č), (6,3m, 0,7ž, -5č)