Prostředí:

Dětský park

Prostředí Dětský park patří do oblasti Práce s daty.

Dětský park

Matematici zde mluví o grafu. V každém jízdním řádu je uvedena síť železnic ČR. Je to schématická mapa. Zastávky jsou vyznačeny tečkami (to jsou vrcholy grafu) a úsečky spojující zastávky (hrany grafu) jsou očíslovány. V našem grafu místo čísel používáme barvy pěšin. Jiným příkladem je síť linek metra v Praze, nebo plánek turistických tras v nějaké lokalitě.

Žáci se učí vybírat podstatné jevy, jako například barvy cestiček mezi stanovišti, pořadí stanovišť, a odhlédnout od nepodstatných jevů, jako například tvar cesty.

Práce v tomto prostředí rozvíjí tvořivost žáka – na základě statického obrázku si žák představuje a popisuje nějaký děj. A také opačně, nějaký děj, průběh cesty mezi dvěma stanovišti, se učí popsat schématem.

Dále žáci rozvíjejí své řešitelské strategie, (důležitá je strategie „Jdi odzadu“) i své kombinatorické schopnosti, když hledají všechna možná řešení. Při důležitých diskuzích o řešení rozvíjejí své argumentační schopnosti.

1. ročník

Úloha 1:

Prostředí je zavedeno v učebnicích touto úlohou. Úkolem žáků je projít dětským parkem podle určitého pravidla a svou cestu nějakým způsobem zapsat. Čepice tří dětí na obrázku mají napovídat, po jakých barevných cestách děti prochází, ale je možné, že žáci toto respektovat nebudou.

Úvodní úloha je určena k diskuzi. Žáci si o obrázku povídají, vyjasňují si, kudy se do parku může vcházet, kudy vycházet, zda se mohou vracet po již prošlé pěšince atd. Učitel pravidla zatím nemusí upřesňovat, k tomu dojde až v případě potřeby.

Zajímavé je i sledovat vývoj v zápisu žáků. Dá se očekávat, že zpočátku budou žáci zapisovat např. balónky – domeček – jezírko – žebřiny. Brzy se ale objeví návrhy na zjednodušení, např. pomocí
počátečních písmen B – D – J – Ž.


Úloha 2:

Žáci zaznamenávají barvy pěšinek jednotlivých cest. Učí se tak i přenášení informace z jednoho obrázku do druhého. Tím rozvíjí analytické myšlení. Zároveň se žáci učí odhlížet od nepodstatných
informací. Konkrétně je tím myšleno to, že v úloze je cesta zaznamenána lineárně, v mapce parku nikoliv. Pro některé žáky může být obtížná myšlenka, že na směru pěšinek zde nezáleží.


Úloha 3:

V další úloze žáci doplňují barvy pěšinek i chybějící stanoviště. Druhou úlohu budou řešit strategií od konce. Začnou ze stanoviště Limonáda a po žluté pěšince dojdou ke Koloběžce, po modré se
dostanou k Pískovišti. Zde se možná objeví myšlenka vrátit se zpět ke Koloběžce. To je ideální moment k vyvolání diskuze a stanovení pravidel Dětského parku ve třídě. My se v dalších úlohách zaměříme na řešení, které vracení se po stejné cestě neumožňují.

Z jezírka mohou žáci jít dvěma cestami (k Domečku, nebo k Houpačce). Z Houpačky pak opět lze zvolit dvě varianty (Skluzavka, Pískoviště). Učitel může dát výzvu k evidenci všech cest.

Žáci k řešení potřebují obrázek dětského parku. Pro práci s ním mohou využít různé strategie: obrací na stranu učebnice, kde je zaveden a pak se vrací k této úloze (tím zapojují krátkodobou paměť). Nebo si pomůžou se spolužákem tak, že jeden zůstane v učebnici na této straně, druhý obrátí na obrázek s dětským parkem (to je zase dobrá strategie k posilování sociálních dovedností). Je dobré nechat na žácích, jak si s přenosem informací poradí.


Úloha 4:

Úloha je náročná z hlediska počtu řešení. Nechceme rozhodně, aby žáci našli všechna. Ale pokud je evidence baví, pověsíme jejich řešení na nástěnku, kde mohou další postupně přidávat.

Podobné úlohy lze ztěžovat větším počtem stanovišť nebo vynecháváním barev jednotlivých pěšinek.


Úloha 5:

Žáci se učí odhlížet od přesné geometrické pozice stanovišť. Zatímco první obrázek víceméně koresponduje s obrázkem dětského parku, druhý se již určitým způsobem odlišuje, třetí obrázek se již odlišuje dost.


Úloha 6:

Tentokrát žáci hledají trojbarevná trojúhelníková schémata.


Úloha 7:

Na řadu přichází úlohy s evidencí počtu cest vycházejících z určitého stanoviště. Např. u limonády se mohou najít žáci, kteří namítnou, že krajní červená pěšinka do stanoviště vchází, ne vychází. Zde je asi nejlepší říct: „Když stojím ve stanovišti Limonáda, kolika pěšinkami mohu vyjít ven?“ Učitel může
pokládat další otázky: Ze kterého stanoviště vychází nejvíce/nejméně pěšinek? Ze kterého stanoviště vychází pěšinky všech tří barev? apod.


Úloha 8:


Předchozí úloha mířila na evidenci pěšinek, které vychází ze stanoviště. Nyní se přidává další parametr – barva. Postupně žáci budou evidovat počty pěšinek určité barvy vycházející ze všech
stanovišť. Je to vhodná úloha pro práci ve skupinách, protože evidence je hodně.


Úloha 9:

Na závěr úloh s evidencí počtu pěšinek, které vycházejí ze stanoviště je zadána souhrnná tabulka. Žáci doplňují tabulku na základě předchozích zkušeností a získaných výsledků. Nakonec sčítají počet pěšinek každého stanoviště. Své výsledky mohou porovnat se zjištěním z úlohy 7.

Zobrazit řešení

Úloha 1:

Dívka, jdoucí po červených cestách, může např. jít: B (balónky) – P (pískoviště) – L (limonáda) – H (houpačka) –J (jezírko) – Ž (žebřiny).

Chlapec, jdoucí po modrých pěšinkách, může např. jít: K (koloběžka) – P (pískoviště) – J (jezírko) – T (trampolína).

Chlapec, který střídá barvy, může projít výstaviště více způsoby. Učitel může podle zájmu a úrovně žáků přidávat nebo měnit podmínky procházení. Může i doplňovat otázky – např. „Může se někde dívka (chodící po červených) a chlapec (po modrých) setkat? Na jakých stanovištích?“ Nebo dát výzvu: „Projdi všechna stanoviště tak, abys v každém byl právě jednou. Tuto cestu zaznamenej.“


Úloha 2:


Úloha 3:

(evidujeme jedno z možných řešení)


Úloha 4:

(obrázkem uvádíme jedno ilustrativní řešení)

a) má celkem tři řešení
b) má celkem šest řešení
c) má celkem deset řešení


Úloha 5:

Poslední obrázek má dvě řešení, byť některý žák může namítnout, že v obrázku schází úhlopříčka (spojnice mezi P a K).


Úloha 6:

Úloha má celkem 4 řešení (B – P – K, L – P – K, J – H – P, T – D – J).


Úloha 7:

3 cesty; 4 cesty

5 cest; 5 cest


Úloha 8:


Úloha 9:

2. ročník

Ve druhém ročníku již žáci přecházejí na kódování pomocí počátečních písmen stanovišť. Možná se ve třídě již objevilo a žáci ho v rámci zjednodušení používají. Tato symbolizace nám navíc umožňuje stručně formulovat úlohy dalšího typu.


Úloha 10:


Úloha 11:

Náročnost zadání spočívá ve dvou negacích: „neprochází po žádné červené cestičce”. Kdyby místo uvedené podmínky bylo napsáno „prochází pouze po modrých a žlutých cestičkách”, byl by text pro některé žáky srozumitelnější.


Úloha 12:

Otevíráme sérii úloh, kde se bude pracovat s časem měřeným v minutách. V těchto úlohách předpokládáme pohyb po rovině, tzn. že z místa A do B bude čas stejný jako z B do A. Žákům tato
úloha bude bližší tenkrát, když již budou mít s podobným měřením časů vlastní zkušenosti. 

Učitel může využít procházky po okolí a spolu se žáky měřit, za jak dlouho projdou různé úseky. Nejlépe, kdyby měl malou mapku okolí, nebo jejich malého výletu, aby si žáci mohli do mapky
zaznamenat naměřené časy chůze z jednoho místa na druhé. Pak bude práce s naší mapkou podložená zkušeností.


Úloha 13:


Úloha 14:


Úloha 15:


V úloze vlastně hledáme tři úseky, které jsou od sebe postupně časově vzdáleny po minutě, a jejich součet je 15. Pokud úlohu srovnáme s následující úlohou b) z učebnice, zjistíme, že jde de facto o stejnou myšlenku.


Žáci v obou úlohách vlastně řeší úlohu: Součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel je 15. Jaká to jsou čísla? V prostředí Dětského parku se tato úloha sémanticky ukotvuje, dříve než se objeví úloha
ve struktuře (s čísly). Sémantické úlohy by měly přecházet těm strukturálním.

V tomto případě lze hovořit o tzv. izomorfní situaci, kde je jedna stejná myšlenka prezentována v různých kontextech. Takové porovnávání může být žákům prospěšné k lepšímu porozumění.


Úloha 16:


Zobrazit řešení

Úloha 10:

a) Od Balónků jdeme po dvou žlutých pěšinkách na stanoviště Jezírko, tedy první hledané stanoviště je nutně Domeček. Poslední tři stanoviště lze doplnit třemi různými způsoby: J-H-L-K, J-Ž-J-D, J-H-J-D. K posledním dvěma řešením může vzniknout diskuze, zda připustíme návraty. Je to na dohodě třídy. Když to zamítneme, úloha má jediné řešení.

b) Typická úloha na řešení strategií od konce. Jestliže nepřipustíme návraty, úloha má jediné řešení: K-P-J-T-Ž-S.

c) Jde o okružní cestu začínající i končící v T.  T-Ž-S-H-J-T. Druhé řešení jde po cestě mezi J a T dvakrát: T-J-P-H-J-T

d) U předchozích úloh bylo známo buď koncové, nebo výchozí stanoviště. Zde je známo stanoviště, které je uprostřed cesty. Když nepřipustíme vracení, má úloha jediné řešení: B-P-L-H-J-Ž. Když
připustíme návraty, řešení bude hodně; cesta s vracením, která projde nejmenším počtem stanovišť: L-P-L-P-L-P;  další možnosti připouštějící vracení: L-P-L-P-B-P; L-H-L-P-B-P; J-H-L-P-B-P a další. Někteří žáci objeví i řešení J-H-L-P-B-Ven, kde písmeno V je žákem nové stanoviště nazvané “VEN”. Je to zajímavá tvořivá myšlenka, kterou třída může diskutovat, učitel ji nezamítne.


Úloha 11:

Cesta a) prochází stanovišti P-K-B-D-J-P buď v tomto pořadí, nebo v opačném. 

Cesta b) prochází stanovišti P-J-T-Ž-S-H-P v uvedeném a obráceném pořadí.


Úloha 12:

Je vhodné si do mapky zjištěné časy zapisovat a postupně doplňovat.


Úloha 13:


Úloha 14:


Úloha 15:

K – P (4 minuty), K – B (5 minut), K – L (6 minut).


Úloha 16: