Prostředí:

Rytmus vizuální

Úlohy založené na rytmu připravují mj. žáky na hlubokou myšlenku matematiky – periodicitu.

Rytmus vizuální

Rytmus je v životě dítěte velice důležitý. Již při narození se dítě uklidní, když je přiloženo k maminčinu tlukoucímu srdci. Rytmus a řád u něj vyvolává pocit bezpečí. Rytmus je důležitý i pro rozvoj matematických schopností dítěte, například schopnosti uvidět závislost, neboli rozvoj funkčního myšlení. Úlohy založené na rytmu připravují mj. žáky na hlubokou myšlenku matematiky –periodicitu. Žáci získávají prožitkem cenné zkušenosti, které zúročí v budoucnu například při porozumění násobilky a dalších pojmů z oblasti dělitelnosti (společný a nejmenší společný násobek čísel, společný a největší dělitel čísel, …). 

Děti postupně získávají zkušenosti s různými typy rytmů – akustickým (zvukovým), pohybovým a vizuálním (grafickým) a kinestetickým.

1. ročník

Úloha 1:

Vytváříme rytmus vlastním tělem (kinestetický rytmus). Učitel vyzve prvního žáka, aby se posadil (na zem, na koberec), druhého žáka vyzve, aby si vedle sedícího stoupl, třetí žák si opět sedne. Potom se
učitel obrátí na třídu: “Kdo ví, jak bude řada pokračovat?” Žáci pak postupně svým tělem rytmus doplňují.


Úloha 2:


Úkolem žáků je nejdříve si tento vláček z krychlí postavit a pak vybarvit na obrázku. Může se stát, že žáci budou mít různá vnímání rytmu a tudíž i různá řešení. Záleží na tom, zda respektují naznačený rytmus zelená, oranžová, zelená, oranžová,…, nebo si dotvoří něco svého. Různá řešení je třeba se žáky diskutovat. V diskuzi máme možnost nahlížet do žákova vnímání a myšlení a sledovat jeho kreativitu. Pokud žáci pokračují v naznačeném řešení, získávají zkušenosti, které jim v budoucnu usnadní práci s periodou.


Úloha 3:


Podobné úlohy jsou dobrou příležitostí k diagnostice, zda a jak žáci vnímají rytmus.


Úloha 4:


U této úlohy můžeme pozorovat, jak žáci vybarvují – zda pravidelně střídají pastelky, nebo vybarví všechna políčka jedné barvy a pak vymění pastelku. Grafický rytmus (v tomto případě Č, Ž, Č, Ž, resp. Z, H, Z, H) lze převádět na rytmus dynamický (pohybový, zvukový). Zde třeba učitel může navrhnout, aby se na každou červenou tlesklo, na každou žlutou duplo. Vzájemné propojování rytmů je důležitou aktivitou vedoucí k lepšímu porozumění.


Úloha 5:


Přicházejí úlohy s rytmem dvourozměrným. Učitel může pokládat otázky typu: “Jakou barvu bude mít 8. políčko horního řádku?” Žák si to může dobarvit, nebo jen ukázat, nebo také uvidět, že každé sudé políčko v horním řádku je oranžové. Každý žák může řešit úlohu na své úrovni.


Úloha 6:


Přenášíme rytmus do aritmetiky a do úloh s vizuálním rytmem se přidávají číslice. Žáci se učí číselné řady a rytmus propojují s evidencí počtu – do okének zapisují čárky, jejich počet je vyjádřen číslem.


Úloha 7:


Tentokrát se objevuje rytmus ABBABB… Žáci, které nebaví vybarvování, mohou rytmus zaznačit jinak, např. písmenem H jako hnědá, nebo Z jako zelená. Naopak žáci, kteří mají s grafikou ještě malé zkušenosti, mohou v daném rytmu navlíkat korálky, nebo tvořit řadu objektů, např. kaštan, šiška, šiška, kaštan, šiška, šiška, …


Úloha 8:


Předchozí rytmy mohly “běžet” pořád dál, byly lineární, zde se objevuje rytmus cyklický. Střídají se dvě barvy po dvou kolečkách, tedy je to rytmus AABB. Zkušenosti s cyklickým rytmem žáci mohou získávat např. při práci s hodinami – ciferníkem, nebo kalendářem.


Úloha 9:


V úloze se prolínají dva rytmy: rytmus barev ABABAB… a rytmus tvarů CCCDCCCD … Perioda je délky 4 - po 4 prvcích se vše opakuje.


Úloha 10:


Pro některé žáky je obtížné, když nevidí, jak rytmus začíná. Objevují zde důležitou řešitelskou strategii “jdi od zadu”. Jít v rytmu pozadu na začátek znamená přehodit pořadí barev. Dovednost pracovat se změněným směrem se využije např. v prostředí Schody: “Stojíš na nějakém schodu. Udělej 3 kroky dolů, pak dva kroky nahoru, skončíš na schodu číslo 10. Na jakém schodu jsi stál na začátku?”. Nebo v prostředí Mince: “V peněžence mám několik korun. Dědeček mi do ní přidal 10 Kč, babička 5 Kč a poté jsem v ní měl 32 Kč. Kolik korun jsem měl na začátku?”

V této úloze nejsou vybarvena počáteční kolečka, učitel si může všímat toho, jak se žáci v úloze orientují. Žákům, kteří se neorientují dobře, pomůže, když si nejdříve vytvoří takovou řadu například z barevných víček od petlahví.


Úloha 11:


S vizuálním rytmem se žáci setkávají i v přípravných úlohách k prostředí Sousedé, posléze i ve vlastním prostředí. Tomuto prostředí je ale věnován samostatný text, proto myšlenky z něj zde nebudeme opakovat.


Úloha 12:


Rytmy žáci hledají i v náročnějších stukturách, zde konkrétně v kosočtverci. Rytmus ABAB se objevuje v řádcích i šikmých sloupcích. Diagonální řady jsou jednobarevné.

Porozumění zákonitostem rytmu může žákům pomoci i v aritmetice. Např. řeknou: “V řadách se pravidelně střídají červená a modrá kolečka, řad začínajících červeným kolečkem je o jednu vice, proto červených koleček bude o jedno vice než modrých. Všech koleček je 25, proto červených je 13 a modrých 12”.


Úloha 13:


V těchto úlohách je rytmus narušený a je třeba jej opravit. Žáci mohou překryté objekty doplnit různými úvahami: např. v řádku je rytmus ABAB… (střídá se kolečko a hvězdička), ve sloupci také, v
diagonálním směru je rytmus AAA… (opakují se stejné objekty), případně ABAB… (pokud bereme celé řady – řada koleček, řada hvězdiček).


Úloha 14:


Úloha s periodou 6. Střídají se dva tvary a tři barvy. Otázky typu “Na kterých místech budou červené panenky, zelená autíčka? Co je na 14. místě?” pomáhají zaměřit žákovu pozornost na periodu.


Úloha 15:


Není cílem, aby žák vybarvoval všechna pole. Tím by se příliš neposunul v porozumění. Učitel proto může položit otázku: Dokážeš bez vybarvování určit barvy polí posledního sloupce? Žákům, které vybarvování baví, bránit nebudeme.


Úloha 16:


Rytmus se dá rozvíjet i v jiných strukturách – např. v kruhu. Žáci získávají také zkušenost, kterou můžou zúročit v budoucnu při práci s polární soustavou souřadnic.


Úloha 17:


Střídají se dvě barvy a tři písmena, podobně, jako to bylo v úloze 13. – délka periody je tedy 6. Pokud žáky úloha baví, může jim učitel dát výzvu např. k určení písmena a barvy stého pole. Taková úloha značně přispívá i do oblasti dělitelnosti. Žáci např. zjistí, že pokud se opakuje stále šestice znaků, šestnáctá šestice končí na poli 96. Takže na stém poli bude čtvrtý znak, což je modré A. Dobrou
alternativou je i nechat žáky, aby vymýšleli sami podobné úlohy.


Úloha 18:


Úloha 19:


Připomínáme, že úkolem žáků je očíslovat jednotlivé místnosti výstaviště číslicemi 1, 2, 3,…, 9 tak, jak je postupně procházíme. Vstup může být pouze na okraji výstaviště. Tyto úlohy dobře slouží k rozvoji vnímání rytmu sudých a lichých čísel. Stejná úloha se dá vytvořit např. s výstavištěm 5 × 5.

Zobrazit řešení

Úloha 1:

Řešení jsou dvě (buď opakujeme dvouprvkovou periodu “sedí, stojí” nebo tříprvkovou periodu “sedí, stojí, sedí”):

sedí, stojí, sedí, stojí, sedí, stojí, sedí, stojí,…

sedí, stojí, sedí, sedí, stojí, sedí, sedí, stojí, sedí…

Úlohu můžeme různě modifikovat. Učitel zavelí, ať se sedící žáci postaví a stojící žáci si sednou. 

Úlohu můžeme časem ztížit přidáním druhého rytmu (konec 1. třídy). Žáci se opět střídají v sezení a stání (první rytmus), ale učitel jim k tomu rozdává barevné papíry. První sedící žák má červený papír, druhý stojící žák má červený papír, třetí sedící žák má modrý papír, čtvrtý stojící žák má modrý papír, pátý sedící žák má opět červený papír a šestý stojící žák má také červený papír.

Řešení:
sedí, stojí, sedí, stojí, sedí, stojí, sedí, stojí, sedí, stojí, sedí, stojí,...


Úloha 3:

Někteří budou stavět a pak krychle vybarvovat náhodně, někteří rytmicky jako např. na obrázku.


Úloha 11:


Úloha 16:


Úloha 18:

Protože se střídají dvě barvy a pět písmen, délka periody je 10. V řetězci se tak objeví všechna písmena A, B, C, D, E v obou barvách. Bude tedy 10 různých znaků. Úlohy s rytmem se objevují i v prostředí Výstaviště. Tomuto prostředí je věnován na blogu speciální text, přesto zde ukážeme jednu myšlenku.


Úloha 19:


3. ročník

Dalším typem úloh vedoucím k periodicitě a zároveň novým prostředím jsou Posloupnosti, které se lámou. Zákonitosti úloh si ukážeme na následující úloze.

Úloha 20:


Úloha 21:


Úloha 22:

Zobrazit řešení

Úloha 20:

Úkolem žáků je pokračovat ve vytvořené posloupnosti. Z čísel je vidět, že posloupnost začíná 1 a roste po 3. V předem určeném čísle se posloupnost tzv. láme, tzn., že pokud posloupnost toto číslo
“přeleze”, o toto číslo se sníží. Pojďme to ukázat na našem příkladu: 

“Posloupnost se láme v čísle 13 (to je ilustrováno pomocí netradičního ciferníku). Posloupnost čísel je 1, 4, 7, 10, 13, 16. Číslo 16 je větší než číslo 13 (ve kterém se posloupnost láme), proto se o toto číslo číslo 16 sníží (16 – 13 = 3). A zase pokračujeme 3, 6, 9, 12, 15. A zase snížíme (15 – 13 = 2). Dále 2, 5, 8, 11, 14. Snižujeme 14 – 13 = 1. Nyní by se čísla v posloupnosti začala opakovat – 1, 4, 7,…”. Cílem úloh je dostat se právě k opakujícím se výskytům čísel – k periodám.


Úloha 21:

První tři posloupnosti se zlomí jednou, než se čísla začnou opakovat, čtvrtá posloupnost dvakrát.

  1. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 6, 12, 18,…
  2. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 1, 3, 5,…
  3. 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 1, 4, 7,…
  4. 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 1, 5, 9,…


Žákům, které tyto úlohy baví, můžeme zadat úlohu: Vymyslete takovou posloupnost, která se zlomí: a) jednou, b) dvakrát, c) třikrát, …, než se čísla posloupnosti začnou opakovat.

Rytmus se objevuje také v úlohách, kde se opakují určité tvary. Tyto úlohy často vedou ke zobecnění nějakého vztahu, zákonitosti. Taková je následující úloha.


Úloha 22:

Počet oken se dá samozřejmě zvyšovat. Lze zadat výzvu, kolik dřívek bude třeba na vytvoření 50 oken. K tomuto často dobře poslouží tabulka:

počet oken 1 2 3 4 5 6 7 ... 50
počet dřívek 4 7 10 13 16 19 22 ... 153


Žáci z tabulky např. objeví, že s každým novým oknem počet použitých dřívek vzroste o tři.

2. stupeň

Na dalších úlohách ukážeme, jak se zkušenosti z prvního stupně využijí na druhém stupni. Žáci se zde setkají s úlohami, kde se již objevují periodická čísla.

Úloha 23:


Úloha 24:


Úloha 25:


Úloha 26:

Zobrazit řešení

Úloha 23:

Cílem je vyvolat potřebu zápisu periodických čísel. Např. v úloze a) 10 : 6 = 1,6666666… Učitel se může ptát, jak toto zapsat. Možná nějaký žák zápis periody zná. Pokud ne, ukáže jej učitel. Zároveň se
diskutuje o tom, že takové číslo lze pohodlně zapsat pomocí zlomku.

Výsledky: a) 1, b) 0, c) 1.


Úloha 24:

a) 3,
b) opakují se číslice 9 0, na patnáctém desetinném místě je 9,
c) perioda je délky 6, opakují se číslice 142857, proto na patnáctém desetinném místě bude 2.


Úloha 25:

Žáci experimentují s periodickými čísly. K řešení je vhodné využít kalkulačku, písemné počítání by bylo velmi zdlouhavé a náročné a to zde není cílem. Úlohu pravděpodobně budou řešit zkoušením čísel a pozorováním vztahů. Jinou možností je úprava vztahu x : a = b na vztah x = b · a. Např. v úloze vynásobí číslo 0,22222222222 devítkou a zjistí, že skoro přesně vychází 2.

Nabízí se I sofistikovanější metody, ale na to by bylo třeba již využití středoškolské matematiky (geometrické řady).


Úloha 26:

Žáci experimentováním získávají zkušenosti s převodem desetinného čísla s periodou 2 na zlomek. Zjistí, že periodu napíší do čitatele zlomku a ve jmenovateli bude vždy 99. Nějaký žák by mohl objevit i pravidlo s periodou délky 3, 4, …